Родился в Москве. В 11 лет дал свой первый сольный концерт.
Преподавателями Сергея в разное время были А.Н. Селезнёв, Т.Я. Гульдан, В.М. Бирина. С 15 лет продолжил обучение в Лондоне (Purcell School, Guildhall school of music & drama) в классе профессора С. Попова. В 2005–2010 гг. – студент Высшей школы музыки в Эссене (Германия) в классе профессора Йанг Чанг Чо.
Сергей Суворов принимал участие в мастер-классах многих выдающихся виолончелистов, среди которых Даниил Шафран, Борис Пергаменщиков, Наталья Гутман, Наталья Шаховская, Стивен Иссерлис. Большое творческое влияние на музыканта оказал Александр Рудин.
В 1994 г. Сергей Суворов стал стипендиатом и постоянным участником международной программы «Новые Имена», в том же году победил на Международном конкурсе виолончелистов в Лицене (Австрия). Лауреат 1-й Премии на Московском конкурсе виолончелистов (1996), в 1998 г. занял 1-е место на Московском конкурсе камерных ансамблей в составе камерного трио. Обладатель стипендии им. Д. Шафрана Российского фонда культуры (1998). Во время обучения в Лондоне (1999–2003) дважды становился обладателем Премии «Suggia Award». В мае 2010 г. получил 1-ю премию и Премию им. Баха на конкурсе им. Давыдова в Латвии.
Выступления Сергея Суворова проходят на многих концертных площадках Москвы и других городов России, а также в Европе и Азии. Выступал с такими дирижерами, как А. Рудин, Е. Бушков, К. Пендерецкий, И. Гайсин, Ю. Симонов, В. Федосеев, В. Дударова, Линь Тао, А. Скульский, И. Лапиньш, П. Герштейн.
Партнерами Сергея на сцене были многие известные музыканты, среди них Александр Рудин, Леонид Горохов, Сергей Кудряков, Николай Луганский, Денис Мацуев, Алена Баева, Евгений Румянцев, Илья Гайсин.
В репертуаре Сергея Суворова, помимо традиционной виолончельной музыки, множество транскрипций скрипичных произведений. В их числе – Фантазия на темы из оперы Н.А. Римского-Корсакова «Золотой петушок» Е. Цимбалиста, Концерт для скрипки с оркестром А. Глазунова, Соната № 3 «Баллада» Э. Изаи и пьесы из балетов Д. Шостаковича (в версии для скрипки Г. Фейгина).